最短Hamilton路径(状压dp与位运算)

发布于 2020-06-23  0 次阅读


题目描述

给定一张 n (n≤20) 个点的带权无向图,点从0∼n−1标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(一个不超过10^7的正整数,记为a[i,j])。
对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出

一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。

样例

输入

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

输出

4

说明

从0到3的Hamilton路径有两条,0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5,后者的长度为1+2+1=4

思路

使用状压dp,dp[i][j],i表示每个点的状态(二进制)的集合,1为走过,0为没有走过。
在dp的使用中,我们选择一个k点,比较从i到k加上k到j的距离和i直接到k的距离,并且取其较小的值。
(i>>j)&1表示在i这个状态集中,可以走过j点。(i>>k)&1同理。
1-(1<<j),由于我们需要i到k的距离,所以,在i这个集合中只要把j为终点变为k为终点即可。
同过遍历所有的情况以及dp的使用,就可以得到结果。

AC Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
int mp[29][29];
int dp[1<<21][21];

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    memset(dp, INF, sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            cin>>mp[i][j];
    for(int i=0; i<(1<<n); i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            if((i>>j)&1)
                for(int k=0; k<n; k++)
                    if((i>>k)&1)
                        dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i-(1<<j)][k]+mp[k][j]);
    cout<<dp[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
    return 0;
}

平平无奇的大学在读本科生